є аналогами дельта-функцій Дірака. Розглянемо L2 (що є не РКХС).
Виходить, що кожен гільбертовий простір ізоморфний простору виду l2(K), де l2(K) є узагальненням простору прикладу 1 (див. теорему 26.3.7, яку зазвичай називають теоремою Ріса-Фішера). Наша перша мета — довести, що замкнутий підпростір гільбертового простору має ортогональне доповнення.
Простір l2 набагато більший за будь-який зі скінченновимірних гільбертових просторів Fn — наприклад, він не є локально компактним — але він все ще досить малий, щоб його можна було «відокремити»; це фактично топологічно характеризує l2.
а функція f належить L2(R) тоді і тільки тоді, коли IfI є скінченним. Таким чином, ненульові постійні функції та, загалом, ненульові поліноми не є членами L2(R). Оскільки IfI2 називається енергією функції, L2 іноді називають простором сигналів кінцевої енергії.
L2 є повний нормований векторний простір, який також має скалярний добуток. Отже, це і банаховий, і гільбертовий простір. Для будь-якого p<∞ (включаючи p=2) підмножина Lp, що складається з неперервних функцій, є нормованим векторним простором, але він не є повним, тому він не є банаховим простором.
击 У квантовій механіці атомів двовимірний комплексний гільбертовий простір H є використовується для опису кутового моменту або «спіну» частки зі спіном напів (електрон, протон, нейтрон, атом срібла), що надає фізичне представлення кубіта.