Перша теорема стверджує, що завжди існує силовська p-підгрупа. 2. Дано будь-яке K ≤ G, де |K| = p існує такий g ∈ G, що gKg−1 ≤ H.

Якщо H є p-підгрупою скінченної групи G, то [NG(H) : H] ≡ [G : H](mod p). Таким чином, якщо р | [G : H], тоді NG(H) 6= H. (Перша теорема Силова) Нехай G — скінченна група порядку pnm, де p — просте число, n > 0 і gcd(p, m) = 1. Тоді G має підгрупу порядку pi для кожного 1 ≤ i ≤ n.

Третя теорема Силова Для кожного простого числа p, що ділить порядок скінченної групи G, кількість силовських p-підгруп G конгруентна 1 за модулем p і ділить |G|. Доведення обох теорем Нехай |G| = pns, де p — просте число, n ⩾ 1 і p — s.

Лема про ділення Евкліда або алгоритм ділення Евкліда стверджує, що Дано натуральні числа a і b, існують унікальні цілі числа q і r, що задовольняють a = bq + r, 0 ≤ r < b.

Теореми Силова є фундаментальною частиною теорії скінченних груп і мають дуже важливі застосування, наприклад, у класифікації скінченних простих груп або, якщо на те пішло, для доведення того, що окремі класи груп є ${not}$ простими.

Теорема (2) — Якщо H є p-підгрупою в G і P є силовською p-підгрупою в G, то в G існує такий елемент g, що g−1Hg ≤ P.