ТЕОРЕМА: (Критерій вписаності чотирикутника): Чотирикутник можна вписати в коло тоді і тільки тоді, коли два протилежні кути додатковий. Зокрема, квадрати, прямокутники та рівнобедрені трапеції завжди можна вписати в коло.

Теорема: протилежні кути чотирикутника, вписаного в коло, дорівнюють додатковий (їх сума 180° 180° 180°). Ми з’єднуємо центр кола з двома протилежними вершинами чотирикутника, а потім застосовуємо теорему про кут до кола (другий випадок).

Протилежні кути є кути, вершини яких не є кінцями однієї сторони. Також на малюнку кути А з С і В з D протилежні У кожному чотирикутнику, а отже, і в паралелограмі сума внутрішніх кутів дорівнює 360°; отже, він еквівалентний двом плоским кутам.

Натомість, у випадку чотирикутника, чотирикутник можна вписати в окружність тоді і тільки тоді, коли два протилежні кути є додатковими. Тому в коло можна вписати чотирикутники: прямокутники, квадрати, рівнобедрені трапеції.

Теорема: якщо чотирикутник описаний навколо кола, то сума двох протилежних сторін дорівнює сумі двох інших. Теорема: якщо сума двох протилежних сторін чотирикутника дорівнює сумі двох інших сторін, чотирикутник можна описати навколо кола.

Теорема про протилежні кути вершин — це теорема, яка стверджує: Два кути, протилежні вершині, завжди рівні. На практиці стверджується, що за наявності двох пересічних прямих чотири утворені кути завжди конгруентні два на два, коли вони протилежні вершині.