Підсумок уроку. Пам’ятайте, що власне значення λ і власний вектор x для квадратної матриці A задовольняють рівняння Ax = λx. Ми вирішуємо det(A – λI) = 0 для λ, щоб знайти власні значення. Потім ми розв’язуємо (A – λI)x=0 для x, щоб знайти власні вектори.

Для квадратної матриці (Am×n), де m і n рівні, [A-λI] називається власною матрицею, яка є невизначеним скаляром. Визначник власної матриці можна записати як |A- λI| і рівняння Ейгена можна позначити як |A- λI| = 0.

a i j = 〈 φ i | A | φ j 〉 , c i = 〈 φ i | ψ 〉 . Наше вихідне рівняння власних значень тепер зведено до матричного рівняння: (6.2) A c = λ c . Коли рівняння власних значень подано в такому вигляді, ми можемо назвати його матричним рівнянням власних значень, а вектори c, які його розв’язують, — власними векторами.

Як знайти власні значення та власні вектори? Для будь-якої квадратної матриці A: Розв’язати |A – λI| = 0 для λ, щоб знайти власні значення. Розв’яжіть (A – λI) v = 0 для v, щоб отримати відповідні власні вектори.

Пам’ятайте: ви завжди можете записати власний стан енергії як Ψ(x,t) = ψ(x)e–iEt/!. Щільність імовірності = |Ψ(x,t)|2 = Ψ(x,t)Ψ*(x,t) = ψ(x)e–iEt/! ψ*(x)e+iEt/! = ψ(x)ψ*(x) = |ψ(x)|2 ⇒ хвильова функція має фазову залежність від часу.

Тут λ — власне значення, а x — власний вектор. Якщо існує розв’язок такого вигляду, то він задовольняє це рівняння λeλtx = eλtAx. Ненульовий вектор x є власним, якщо існує таке число λ, що Ax = λx. Скалярне значення λ називається власним значенням.

Як обчислити власні значення та власні вектори? Для будь-якої квадратної матриці A, щоб знайти власні значення: Розв’язати характеристичне рівняння |A – λI| = 0 для λ. Щоб знайти власні вектори: Розв’яжіть рівняння (A – λI) v = O для v.