The
будь-якої абелевої групи є самою собою. Бути абелевим означає, що множення комутативне; gh=hg для всіх h,g∈G. Отже, центром кожної абелевої групи є вся група. Єдині прості абелеві групи є циклічними з простим порядком. 15 березня 2015 р
Центром абелевої групи G є все Г. Центр неабелевої простої групи тривіальний. Центр двогранної групи Dn є тривіальним для непарних n ≥ 3. Для парних n ≥ 4 центр складається з одиничного елемента разом із поворотом багатокутника на 180°.
Центром будь-якої простої групи є тривіальний або вся група. Отже, кожна проста група або безцентрова, або абелева. Похідна підгрупа будь-якої простої групи є або тривіальною, або цілою групою.
Централізатор завжди містить центр групи групи та міститься у відповідному нормалізаторі. В абелевій групі централізатором є вся група.
Кожна підгрупа абелевої групи є нормальною, тому кожна підгрупа породжує факторгрупу. Підгрупи, частки та прямі суми абелевих груп знову є абелевими. Скінченними простими абелевими групами є саме циклічні групи простого порядку.
Співдобуток двох об’єктів A і B абелевої категорії також відомий як пряма сума цих об’єктів і позначається як A⊕B, A⨿B або A˙+B.